Model-based Clustering

Model-based Clustering与EM算法

Model-based Clustering与K-means

Model-based clustering 是一种基于概率模型的方法，用来在数据中识别组或簇。与K-means等几何算法不同，模型基聚类假设数据来自多个不同的概率分布，并通过估计每个簇的概率分布来实现聚类。常见的方法包括高斯混合模型（GMM），其中假设每个簇服从正态分布。

模型原理

1. 概率模型的假设
   模型基聚类假设数据来自若干个概率分布。最常见的是假设数据来自多个高斯分布，每个分布对应一个簇。基本思路是使用这些概率分布的组合来表示整个数据集。假设每个数据点来自于某个分布的概率，依据这些概率进行分簇。
2. 高斯混合模型（GMM）
   • 目标：GMM 假设每个簇的数据点来自不同的高斯分布，每个分布由均值向量、协方差矩阵和权重来定义。
   • 参数：对于每个簇，模型会拟合一个高斯分布的参数，即均值向量$\mu_k$、协方差矩阵$\Sigma_k$和簇的权重$\pi_k$。
   • 期望最大化（EM）算法：
     • E步骤（期望步骤）：给定当前的参数估计，计算每个数据点属于每个簇的概率（即责任，用来表示某个数据点属于某个簇的概率）。
     • M步骤（最大化步骤）：根据E步骤中的概率，重新估计高斯分布的参数（$\mu_k, \Sigma_k, \pi_k$），使得似然函数最大化。
   • 迭代过程：EM算法不断交替进行E步骤和M步骤，直到收敛，即似然函数的变化低于某个阈值。

对比

1. 基本模型：

   • K-means：假设簇是球形的，通过最小化每个数据点到其所属簇的质心的距离来进行聚类。
   • GMM（模型基聚类的一种）：假设簇服从高斯分布，可以处理非球形、不同方差的簇。

2. 硬聚类 vs. 软聚类：

   • K-means：硬聚类算法，即每个点只能属于一个簇。
   • GMM：软聚类算法，每个点属于不同簇的概率可以被计算出来。

3. 簇的形状：

   • K-means：假设簇的形状是球形的，所有簇有相同的方差。
   • GMM：簇可以有不同的形状和大小，因为每个簇都有自己的协方差矩阵。

4. 算法复杂性：

   • K-means：相对简单，收敛速度快。
   • GMM：由于使用EM算法，计算复杂度较高，尤其是在高维数据或簇数较多的情况下。

5. 适用场景：

   • K-means：适合处理形状相似且簇内方差相近的聚类问题，且在大数据中表现良好。
   • GMM：适合处理形状多样、簇内差异较大的聚类问题，尤其是数据可能来源于不同的分布时。

总结来说，模型基聚类如GMM更灵活，能够适应不同形状的簇，但计算代价较高；K-means更简单快捷，但在处理复杂分布时表现有限。

EM算法

EM算法（Expectation-Maximization，期望最大化算法）是一种用于寻找含有隐变量的概率模型的最大似然估计的迭代算法。它的主要目的是在数据不完全可观测或存在隐变量的情况下，优化参数估计。EM算法广泛应用于模型基聚类（如高斯混合模型GMM）、隐马尔可夫模型（HMM）、协同过滤等领域。

问题背景

在某些问题中，直接通过最大化似然函数来估计模型参数非常困难，因为数据不完整、包含缺失值或隐含的未观测变量。在GMM中，数据来自多个未知的高斯分布，无法直接确定每个数据点属于哪个分布，这就是“隐变量”。EM算法提供了一种处理这类情况的办法。

核心思想

EM算法的核心思想是先估计隐变量的分布（E步骤），再利用这些估计来更新模型的参数（M步骤）。这种迭代式的过程逐渐逼近最优的参数估计。

EM算法的结构

给定观测数据$X = \{x_1, x_2, \dots, x_n\}$，假设我们有一些无法直接观测的隐变量$Z = \{z_1, z_2, \dots, z_n\}$，目标是估计模型参数$\theta$。似然函数为：

$$L(\theta | X) = \sum_{Z} P(X, Z | \theta)$$

由于直接求解似然函数比较困难（因为涉及到隐变量$Z$的不确定性），我们通过EM算法来迭代优化。

EM算法的两个主要步骤是E步骤（期望步骤）和M步骤（最大化步骤）：

E 步骤（Expectation, 期望步骤）：

在给定当前参数$theta^{(t)}$的情况下，计算隐变量的条件概率分布，也就是对隐变量的期望值。这一步通过计算对数似然函数的期望值来更新隐变量的估计。

具体来说，我们计算完全数据对数似然的期望，即$Q(\theta | \theta^{(t)})$，其表达式为：

$$Q(\theta | \theta^{(t)}) = \mathbb{E}_{Z|X,\theta^{(t)}} [ \log P(X,Z|\theta)$$

这一步实际上是在更新隐变量$Z$的分布，也就是在当前参数下，推断每个观测数据点可能来自的隐变量的概率。

M 步骤（Maximization, 最大化步骤）：

在给定隐变量的条件概率分布后，优化参数$\theta$，即最大化 E 步骤中的期望$Q(\theta | \theta^{(t)})$，来得到新的参数估计：

$$\theta^{(t+1)} = \arg \max_{\theta} Q(\theta | \theta^{(t)})$$

这一步就是通过最大化E步骤中得到的期望来更新模型参数。

迭代过程：

EM算法不断在 E 步骤和 M 步骤之间交替进行，直到模型参数收敛，即参数的变化量非常小或似然函数值变化小于某个预设阈值。

总结

EM算法通过迭代的方式，先计算隐变量的期望（E 步骤），再最大化参数（M 步骤），逐渐优化模型的参数。该算法在含有隐变量或部分数据缺失的问题中，特别是概率模型的最大似然估计中，具有广泛应用。不过，由于容易收敛到局部最优解以及速度较慢，通常需要结合其他方法（如多次随机初始化）来提升效果。

高斯混合模型（GMM）中的 EM 算法

高斯混合模型是 EM 算法的经典应用。假设数据点由$K$个高斯分布组成，目标是通过 EM 算法来估计每个高斯分布的参数，包括均值$\mu_k$、协方差矩阵$\Sigma_k$和每个分布的权重$\pi_k$。

1. 初始化：

   • 初始化各高斯分布的参数$\theta^{(0)} = \{\mu_k^{(0)}, \Sigma_k^{(0)}, \pi_k^{(0)}\}$，通常通过随机选取或者其他算法（比如K-means）来完成。

2. E 步骤：
   计算每个数据点$x_i$属于第$k$个高斯分布的后验概率（责任），表示为$\gamma_{ik}$：

$$\gamma_{ik} = \frac{\pi_k^{(t)} \mathcal{N}(x_i | \mu_k^{(t)}, \Sigma_k^{(t)})}{\sum_{j=1}^{K} \pi_j^{(t)} \mathcal{N}(x_i | \mu_j^{(t)}, \Sigma_j^{(t)})}$$

其中，$\mathcal{N}(x_i | \mu_k, \Sigma_k)$是高斯分布的概率密度函数。

3. M 步骤：
   更新参数$\mu_k, \Sigma_k, \pi_k$：
   • 均值$\mu_k$：

$$\mu_k^{(t+1)} = \frac{\sum_{i=1}^{n} \gamma_{ik} x_i}{\sum_{i=1}^{n} \gamma_{ik}}$$

• 协方差矩阵$\Sigma_k$：

$$\Sigma_k^{(t+1)} = \frac{\sum_{i=1}^{n} \gamma_{ik} (x_i - \mu_k^{(t+1)})(x_i - \mu_k^{(t+1)})^T}{\sum_{i=1}^{n} \gamma_{ik}}$$

• 混合权重$\pi_k$：

$$\pi_k^{(t+1)} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \gamma_{ik}$$

4. 迭代：
   重复 E 步骤和 M 步骤，直到参数$\theta$收敛。